Lehre in der Mathematik

„Mathe war nie so mein Ding“ – wie oft höre ich diesen Satz in den verschiedensten Variationen und Situationen. Warum eigentlich? Was macht Mathematik so speziell?

In der Schule – und in manchen Anwendungsfächern auch an der Hochschule – wird Mathematik traditionell sehr rechenlastig unterrichtet. In der Folge lernen die Studierenden eher „Kochrezepte“ auswendig und achten weniger auf das Verständnis größerer Zusammenhänge. Vielleicht haben auch Sie noch drei verschiedene Formeln für die Zinseszinsrechnung gelernt, die im Prinzip doch alle dieselbe Gleichung sind …

Ein weiteres Problem besteht darin, dass alles aufeinander aufbaut und miteinander verwoben ist. Zudem können mathematische Aussagen nur dann verwendet werden, wenn sie schlüssig begründet („bewiesen“) sind. Solche Begründungen zu entdecken ist (auch) ein kreativer Prozess, bei dem zu Beginn nicht immer klar ist, welche Herangehensweise zum Ziel führt.

Zu Beginn allen Lehrens steht die Frage nach den Lernzielen: Was sollen meine Studierenden nach meiner Veranstaltung können? Lerntheoretisch werden die Lernziele in verschiedene Kompetenzstufen eingeteilt:

Abbildung 1: Lernzieltaxonomie nach Anderson, Lorin W.; Krathwohl, David R. (2001): A Taxonomy for Learning, Teaching, and Assessing.

Aber Achtung – das Wort „Verstehen“ trägt hier eine andere Bedeutung als im allgemeinen universitären Umfeld! Es steht für das Erklären oder Beschreiben von Sachverhalten und Konzepten in eigenen Worten und nicht für das allumfassende Verinnerlichen einer ganzen Theorie.

Ich rate Ihnen, Ihre Lernziele so konkret zu formulieren, dass sich aus ihnen unmittelbar Prüfungsfragen zur Lernzielkontrolle ergeben (operationalisierbare Lernziele). Die folgenden Lernziele zum Thema „Funktionsuntersuchung“ unterscheiden sich teilweise nur in Nuancen, die die verschiedenen Kompetenzstufen widerspiegeln.

Beispiele für die Formulierung von Lernzielen

Die Studierenden sollen

• die Definition des Begriffs „Ableitung einer Funktion“ wiedergeben können [Erinnern]
• den Begriff „Ableitung einer Funktion“ anhand einer Skizze erläutern können [Verstehen]
• die Ableitung einer gegebenen Funktion berechnen können [Anwenden]
• die für die Ableitung einer gegebenen Funktion notwendigen Formeln angeben können [Analysieren]
• eine gegebene Berechnung einer Ableitung auf ihre Korrektheit hin überprüfen können [Evaluieren]
• eine Unterrichtseinheit zum Thema „Ableitung von Funktionen“ entwickeln können [Erschaffen]

In der Lernpsychologie ist seit langem bekannt, dass aktives Lernen im Großen und Ganzen nachhaltigere Erfolge zeitigt als passives Lernen. Ich möchte dabei „im Großen und Ganzen“ betonen, denn für einzelne Lehrsequenzen kann ein Vortrag, eine Präsentation oder eine Videosequenz durchaus das Mittel der Wahl sein – Frontalunterricht ist nicht per se schlecht.

Wenn Sie Ihre Studierenden zum aktiven Lernen anregen wollen, stellt sich sofort die Frage, wie Sie dies unterstützen können. Ich möchte Ihnen drei Aspekte hierzu vorstellen und bewusst machen.

Aktives Lernen macht keinen Spaß

Die schlechte Nachricht zuerst: aktives Lernen macht leider keinen Spaß. Lernpsychologisch hat dies (auch) damit zu tun, dass uns zwei Systeme zur Entscheidungsfindung zur Verfügung stehen, ein schnelles automatisches (System 1) und ein langsames anstrengendes (System 2); vgl. Kahneman, Daniel (2011): Thinking, Fast and Slow. Aktives Lernen geschieht mit System 2, und die Inbetriebnahme dieses Systems erfordert bewusste Anstrengung. Versuchen Sie einmal, die Rechenaufgaben 3*4 und 17*28 möglichst schnell im Kopf zu lösen, und Sie werden den Unterschied „am eigenen Kopf“ erfahren …

Die folgende Grafik veranschaulicht die Ergebnisse einer Studie, bei der zwei Studierendengruppen denselben Stoff (Fluiddynamik) erlernen sollten; dabei lernte eine Gruppe passiv (hellgraue Balken), die andere aktiv (dunkelgraue Balken). Im abschließenden Test schnitt die aktive Gruppe erwartungsgemäß signifikant besser ab (Test of learning). Die wesentlichen neuen Erkenntnisse der Studie werden aber durch die folgenden Balken beschrieben – machen Sie sich einmal in aller Deutlichkeit klar, was dies für Ihre eigene Lehre bedeutet! In meinen eigenen Veranstaltungen gehe ich manchmal auf die Metaebene und zeige und erläutere meinen Studierenden genau diese Grafik.

Abbildung 2: Vergleich von Studierendenantworten zu aktivem und passivem Lernen. Quelle: Deslauriers, Louis; McCarty, Logan S.; Miller, Kelly; Callaghan, Kristina; Kestin, Greg (2019): Measuring actual learning versus feeling of learning in response to being actively engaged in the classroom.

Das Prinzip der minimalen Hilfe

Formuliert ist das Prinzip der minimalen Hilfe sehr schnell:

Geben Sie immer nur so viel Hilfe wie gerade nötig.

Intellektuell verstehen Sie dieses Prinzip sicher sofort. Die Umsetzung in die Praxis stellt aber hohe Ansprüche an Sie als Lehrperson, weil Sie teilweise entgegen den Wünschen der Studierenden (und Ihren eigenen) agieren müssen.

An einem Beispiel möchte ich Ihnen das Prinzip verdeutlichen. Stellen Sie sich vor, Ihre Studierenden sollen folgende Gleichung nach x auflösen (die Lösung ist übrigens x = 2):

2x+1=x+3

Es stört dabei das x auf der rechten Seite. Im traditionellen erklärenden Unterricht können Sie das Problem schnell lösen, etwa mit dem folgenden fiktionalen Dialog zwischen Tutor*in (T) und Student*in (S):

S: Ich bräuchte mal Hilfe, ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.
T: Wo genau liegt denn dein Problem?
S: Ich soll die Gleichung nach x auflösen, aber das x kommt ja auf beiden Seiten vor.
T: Da musst du einfach auf beiden Seiten x abziehen. Dann hast du die Gleichung x+1=3 mit der Lösung x=2.
S: Ja klar, vielen Dank; ist ja ganz leicht.

Die konkrete Fragestellung ist damit zwar beantwortet, aber es bliebe abzuwarten, ob S bei der nächsten Aufgabe erfolgreicher wäre. Unter Berücksichtigung des Prinzips der minimalen Hilfe könnte der Dialog (dessen Anfang derselbe ist wie oben) vielleicht so aussehen:

S: Ich bräuchte mal Hilfe, ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.
T: Wo genau liegt denn dein Problem?
S: Ich soll die Gleichung nach x auflösen, aber das x kommt ja auf beiden Seiten vor.
T: Wenn das x nicht mehr da wäre, könntest du die Aufgabe dann lösen?
S: Ich denke schon.
T: Also müssen wir das x irgendwie eliminieren. Versuch mal, eine Idee dafür zu entwickeln.
[T lässt S allein weiterarbeiten und kehrt nach 3 Minuten wieder zurück.]
T: Bist du weitergekommen?
S: Nicht so richtig.
T: Was hast du dir denn überlegt? Und an welcher Stelle hakt es noch?
S: Ich würde gerne auf beiden Seiten x abziehen, aber ich weiß nicht, ob ich das darf; schließlich ist x eine Variable und keine Zahl.
T: Aber wenn das ginge, wärst du fertig?
S: Ja, dann wäre die Lösung x=2.
T: Also musst du nur noch diesen Schritt rechtfertigen. Schau vielleicht nochmal deine Mitschrift aus der Vorlesung an.
[T lässt S wieder allein und kommt später wieder vorbei.]
T: Und?
S: Wir hatten tatsächlich in der Vorlesung ein ähnliches Beispiel gemacht, wo wir auf beiden Seiten x abgezogen haben. Für mich ist jetzt alles klar.
T: Perfekt, dann hast du die Aufgabe vollständig und korrekt gelöst.

Hier agiert T also eher als unterstützende*r Lerncoach und weniger als erklärende*r Expert*in.

Das Prinzip der minimalen Hilfe bringt natürlich Vor- und Nachteile mit sich:

Lernzielkontrolle zwischendurch

Nach dem Ende der Veranstaltung kommen die Prüfungen, mit denen wir überprüfen, ob unsere Lernziele tatsächlich erreicht wurden. Warum eigentlich erst nach der Veranstaltung?

Ich plädiere dafür, auch zwischendurch schnelle Lernzielkontrollen durchzuführen. Dies dauert mit Online-Tools wie z.B. Mentimeter wirklich nur wenige Minuten, egal ob mit 10 oder 400 Studierenden. Wenn Sie Ihre Lernziele hinreichend konkret formuliert haben, sind passende Fragen für eine kurze Lernzielkontrolle schnell erstellt, und die Auswertung kann online in Echtzeit gemeinsam mit den Studierenden erfolgen.

Im Folgenden stelle ich Ihnen drei für mathematische Veranstaltungen eher ungewöhnliche Aufgabentypen höherer Kompetenzstufen vor, die sich in meiner Lehrpraxis bewährt haben.

Reflexionsaufgabe

An der Hochschule schauen wir oft nach vorne und nehmen uns seltener die Zeit zurückzuschauen. Doch erst der systematische Rückblick bettet das neu erworbene Wissen in bestehende kognitive Muster ein und ist daher unerlässlich für nachhaltiges Lernen. Hierfür habe ich die Reflexionsaufgabe entwickelt (vgl. Zeidler, Sandra; Siburg, Karl Friedrich (2008)).

Das folgende Beispiel entstammt einer Vorlesung für das 2. Semester; das Ziel der Aufgabe wird den Studierenden zu Beginn klar kommuniziert.

>>Ziel der Aufgabe ist es, die Theorie hinter der Berechnung von Extrema unter Nebenbedingungen zu reflektieren, die wichtigsten Sätze zu wiederholen und Bezüge zwischen den einzelnen Begriffen herzustellen.

1. Fertigen Sie eine Mindmap an, in der Sie alle relevanten Begriffe (Mannigfaltigkeit, Tangentialraum, Normalraum, etc.) mit ihren Definitionen und zentralen Aussagen berücksichtigen. Deuten Sie Beziehungen zwischen einzelnen Aspekten durch beschriftete Pfeile an.
2. Schreiben Sie auf Grundlage Ihrer Mindmap einen kurzen zusammenhängenden Text, der zentrale Definitionen und Sätze sowie einfache Beispiele enthält. Schreiben Sie insgesamt 1-2 Seiten.<<

Erfahrungsgemäß tun sich die Studierenden zunächst schwer mit diesem Aufgabentyp. Nach wenigen Durchgängen jedoch steigen die Qualität der Bearbeitungen sowie die Akzeptanz seitens der Studierenden deutlich an.

 „Forumsaufgabe“

Im folgenden Aufgabentyp, den ich „Forumsaufgabe“ genannt habe, sollen Fehlvorstellungen erkannt, analysiert und korrigiert werden. Diese Art von Aufgabe ist erfahrungsgemäß sehr anspruchsvoll.

>>In einem Forum lesen Sie folgenden Beitrag:

„Ich bin total verwirrt. Wenn ich etwas von einer Zahl abziehe, wird diese immer kleiner. Jetzt sollen wir die Gleichung 3-x=5 lösen. Aber 5 ist ja größer als 3. Das geht dann doch gar nicht, oder?“

Formulieren Sie für das Forum eine präzise Antwort.

Die Fehlvorstellung besteht in der Annahme „Wenn ich etwas von einer Zahl abziehe, wird diese immer kleiner“, die nur für positive Subtrahenden zutrifft; hier ist aber x = -2 .<<

Metafachliche Aufgabe

Auch metafachliche Kompetenzen sind wichtig. Gerade beim Übergang von der Schule zur Hochschule erfahren die neuen Studierenden zahlreiche Schwierigkeiten, die durchaus auch auf die unterschiedlichen Lernkulturen zurückzuführen sind.

Die neuen Studierenden sind vor allem oft nicht in der Lage, sich unbekannten Stoff selbstständig anzueignen. Wir betonen zwar in den Anfangsvorlesungen immer wieder die Notwendigkeit des eigenständigen Nacharbeitens, zeigen aber nicht auf, was dies bedeutet und wie dies durchzuführen ist.

Hier setzt die folgende Aufgabe an, die als Präsenzaufgabe für die erste Übungsstunde des 1. Semesters gestellt wurde (80 Minuten Bearbeitungszeit).

>>Wenn Sie Ihre persönliche Mitschrift von Abschnitt 1.1 der Vorlesung durchgehen, werden Sie bemerken, dass sie viele Lücken enthält. Einerseits hat der Dozent manchmal ganze Teile von Beweisen ausgelassen (und dies auch offen gesagt), andererseits gibt es Aussagen, Gleichungen o.Ä., die zwar beim ersten Lesen klar erscheinen, beim zweiten Nachdenken aber zusätzlicher Argumente bedürfen.

Ihr Ziel in dieser Aufgabe ist es, eine lückenlose Ausarbeitung des Abschnitts 1.1 zu erstellen. Gehen Sie dabei anhand folgender Schritte vor:

1. In welchen Beweisen sind ganze Teile vom Dozenten ausgelassen worden?
2. An welchen scheinbar klaren Stellen müssen zusätzliche Argumente hinzugefügt werden?
3. Beweisen Sie die von Ihnen im ersten Schritt identifizierten fehlenden Teile.
4. Fügen Sie die fehlenden Argumente an den von Ihnen im zweiten Schritt identifizierten Stellen hinzu.
5. Sie haben nun neben den Folien Ihre Originalmitschrift mit den von Ihnen erstellten Ergänzungen. Gehen Sie alles zusammen noch einmal durch und prüfen Sie, ob diese Kombination wirklich eine mathematisch lückenlose Ausarbeitung ist.<<

Wenn ich Kolleg*innen diese Aufgabe zeige, erhalte ich manchmal den Kommentar „Dafür habe ich leider nicht die Zeit“. Nachhaltiges Lernen „kostet“ aber Zeit und erfordert dadurch fachliche Stoffreduktion.

Es kommt immer auf Ihre individuellen Prioritäten an – Sie entscheiden, was wichtig ist.

Zum Abschluss möchte ich Ihnen drei persönliche Anregungen mit auf Ihren Weg geben, die sich umso klarer herauskristallisiert haben, je länger ich an der Hochschule unterrichte.

Die drei Fragezeichen

Stellen Sie sich ab und zu – vielleicht auch still mitten in der Stunde – folgende drei Fragen:

• Was tue ich gerade?
• Warum tue ich das?
• Was will ich damit erreichen?

Wenn Sie sich diese Fragen später selbst ehrlich beantworten, sind Sie auf einem guten Weg.

Transparenz schafft Akzeptanz

Wenn ich den Studierenden gegenüber meine Ziele und Anforderungen immer transparent mache, werden meine Handlungen von den Studierenden eher akzeptiert und anerkannt. Das heißt übrigens nicht, dass sich meine Studierenden dafür begeistern...

Unnötigen Stress vermeiden

Ich bin durchaus ein Freund von Stress, solange er meine Studierenden zu guten Leistungen anspornt. Unsere Studierenden erfahren aber auch viel unnötigen Stress – diesen versuche ich in meiner Lehre zu vermeiden, indem ich z.B. vor mündlichen Prüfungen auf einem Merkblatt meine Anforderungen und den Prüfungsablauf transparent mache.

Anderson, Lorin W.; Krathwohl, David R. (2001): A Taxonomy for Learning, Teaching, and Assessing. Addison Wesley Longman Inc.

Deslauriers, Louis; McCarty, Logan S.; Miller, Kelly; Callaghan, Kristina; Kestin, Greg (2019): Measuring actual learning versus feeling of learning in response to being actively engaged in the classroom. In: Proceedings of the National Academy of Sciences, Jg. 116, Nr. 39, S. 19251-19257.

Kahneman, Daniel (2011): Thinking, Fast and Slow. Farrar, Straus and Giroux.

Zeidler, Sandra; Siburg, Karl Friedrich (2008): Um was geht’s hier eigentlich? Methoden zur Reflexion größerer Themenkomplexe in mathematischen Studiengängen. In: Neues Handbuch Hochschullehre. Franz Steiner Verlag. C 2.14.

Thesen

• Die klassische Vorlesung mit einem Tafel- oder Folienvortrag ist im Mathematikstudium immer noch sehr verbreitet, obwohl sie Studienanfänger*innen zunehmend Schwierigkeiten bereitet. Durch Modifikationen kann die Vorlesung aber weiterhin ein sinnvolles Format für wissensorientierte Veranstaltungen in großen Gruppen sein.
• Es gibt viele Möglichkeiten, gleichzeitig die Interaktivität in der Vorlesung zu steigern und die Zeit des Selbststudiums stärker zu strukturieren. Das führt zu einer Auflockerung des Ablaufs in der Präsenzveranstaltung und macht diese für Lehrende und Lernende gewinnbringender.
• Insbesondere ergibt sich die Möglichkeit, durch das asynchrone Selbststudium auf heterogene Vorkenntnisse Rücksicht zu nehmen, gezielter auf Verständnisprobleme und Fehlvorstellungen einzugehen und in der Präsenzphase vermehrt höhere Kompetenzniveaus zu adressieren.

Mathematik-Veranstaltungen an der Hochschule finden wie viele andere MINT-Veranstaltungen traditionell in der Form Vorlesung-Übung-Hausaufgaben oder Vorlesung-Hausaufgaben-Übung statt. Dabei schließt sich an eine Wissensvermittlung in der Vorlesung entweder eine von Tutor*innen begleitete Übungsstunde mit Präsenzaufgaben an, die die Studierenden auf die anschließenden Hausaufgaben vorbereiten soll, oder die Studierenden bearbeiten direkt im Anschluss an die Vorlesung Übungsaufgaben, deren Lösungen dann in der Gruppenübung besprochen werden. In beiden Fällen ist die Wissensvermittlung in der Vorlesung streng getrennt von der eigenständigen individuellen Beschäftigung mit den Inhalten oder der Arbeit der Studierenden in Gruppen.

Befürworter*innen dieses Modells frontaler Vorlesungen verweisen oft auf eine jahrhundertalte Tradition und deren Erfolge. Die klare Struktur dieser Trennung bietet für uns Lehrende Planbarkeit und Kontrolle sowie eine klare Rollenverteilung der Aufgaben unter den Beteiligten. Allerdings verliert das zentrale Argument für die Vermittlung von Inhalten durch Vorlesungen, nämlich die nur auf diesem Wege mögliche Weitergabe von Inhalten, zunehmend an Bedeutung. Lerninhalte stehen in verschiedener Form als Lehrbücher, digitale Materialien, Videos etc. zur Verfügung. Dieses Angebot ermöglicht es, die positiven Aspekte einer asynchronen Wissensvermittlung zu nutzen und dabei gleichzeitig individuelle Vorkenntnisse, Leistungsfähigkeit sowie persönliche Rahmenbedingungen für das Lernen zu berücksichtigen.
Zudem bietet uns ein Neudenken der Vorlesung die Möglichkeit, die Lebenswirklichkeit der Studierenden stärker in den Fokus zu nehmen. Informationsbeschaffung und Interaktion finden in kürzeren Phasen statt. Kurze themenbezogene Videos im Internet, das Anhalten eines Films und ein Wechsel des Mediums gehören auf eine natürliche Weise zur täglichen Erfahrung. Das von den Studierenden im klassischen universitären Alltag erwartete Arbeiten steht dazu im klaren Kontrast.

Vorlesungen neu denken

Wir stellen in diesem Beitrag einige in Mathematiklehrveranstaltungen an der RUB erprobte Möglichkeiten vor, um das klassische Vorlesungsformat auf lernförderliche Weise aufzulockern. Diese sind insofern nicht fachspezifisch, als sie für viele grundlegende MINT-Veranstaltungen übernommen werden können.

Die Stofffülle in den Eingangsvorlesungen ist in der Regel groß, weil dort viele Grundlagen für weitere Veranstaltungen bereitgestellt werden. Eine wesentliche Kürzung der Inhalte steht daher außer Frage. Entsprechend ist eine Veränderung des Vorlesungsmodus nur möglich, indem wir die Bindung der Inhaltsvermittlung an die Präsenzvorlesung auflösen. Dies bedeutet konkret, Inhalte zum Teil in die Vorbereitung und in die Nachbereitung einer Vorlesung auszulagern und die dadurch gewonnene Kontaktzeit zwischen uns als Lehrenden und den Studierenden anders zu nutzen. Durch diesen Ansatz soll aber keinesfalls die Kontaktzeit reduziert werden. Die direkte Interaktion der Studierenden mit den Lehrenden in Präsenz ist ein wesentlicher Faktor für Lernerfolg (Schneider/Preckel 2017), trägt zur Bindung zwischen Lernenden und Lehrenden bei und ermöglicht mehr Flexibilität und Freiräume als eine Kontaktzeit im digitalen Raum.

Eine vollständige Auslagerung der Lerninhalte in die Vorbereitung ist unter dem Schlagwort Inverted Classroom bekannt. Manche Lehrende machen jedoch trotz aufwändiger Materialerstellung in Form von Lernvideos die frustrierende Erfahrung, dass Studierende die erwarteten Arbeitsaufträge nicht erledigen und unvorbereitet in die Lehrveranstaltung kommen.

Wir stellen hier einige Konzepte vor, wie wir Studierende mit Varianten dieses Formats geschickt zur Vor- und Nachbereitung aktivieren, so dass Sie als Lehrende zeitliche Freiräume für den Hörsaal gewinnen. Eines dieser Konzepte ist das die Vorbereitung strukturierende Just in Time Teaching, das Ihnen als Lehrperson bereits bei Ihrer Vorlesungsvorbereitung einen Überblick über die Schwierigkeiten der Studierenden gibt.

Gestaltung der individuellen Vorbereitungsphase

Die Einführung einer Vorbereitungsphase vor der Präsenzveranstaltung ist sowohl für Lehrende als auch für Studierende eine Herausforderung. Das Selbststudium der Studierenden ist nun nicht mehr allein darauf fokussiert, Inhalte vergangener Präsenzsitzungen nachzubereiten, um Übungsaufgaben zu lösen. Stattdessen müssen die Studierenden sich so organisieren, dass weder die Nachbereitung der vergangenen Veranstaltungen noch die Vorbereitung auf die kommende Veranstaltung zu kurz kommen. Sie als Lehrende haben dabei die Aufgabe, diese Aufteilung der Zeit für das Selbststudium zu unterstützen. Dabei sollten Sie darauf achten, dass der Gesamtumfang begrenzt und insbesondere der Aufwand für die vorzubereitenden Materialien überschaubar bleibt. Wichtig ist auch, in die Vorbereitung nur Themen aufzunehmen, die in der anschließenden Präsenzveranstaltung eine Rolle spielen oder zumindest angesprochen werden.

Hilfreich ist es, wenn Sie die Materialien in kleine Arbeitspakete unterteilen. Dann können Sie den Studierenden durch Verständnisfragen oder kleine Tests Gelegenheit geben zu prüfen, ob sie alles verstanden haben oder ob noch Fragen offen sind. Studierende können gleichzeitig durch „Abarbeiten“ dieser kleineren Abschnitte den Fortschritt für sich selbst sichtbar machen. Insbesondere in der Studieneingangsphase gehören zur Vorbereitung auch klare Arbeitsaufträge mit einem „Produkt“ als Ergebnis. Das kann wie oben bereits erwähnt ein absolvierter Zwischentest oder auch eine Kurzzusammenfassung oder die Formulierung einer Frage sein. Die Abgabe sollte dabei an einen festen Termin und gerade in der Studieneingangsphase möglichst an einen Anreiz gekoppelt sein. Dies könnten, falls die Prüfungsordnung es zulässt, Bonuspunkte für die Abschlussprüfung sein. Ein weiterer Anreiz könnte aber ein Autonomiegewinn für die Studierenden sein. Konkrete Beispiele finden Sie bei den „Hinweisen“ weiter unten im Text.

Beispiel 1

Für eine Veranstaltung zur Mathematik für Naturwissenschaftler*innen erhalten die Studierenden jede Woche den Inhalt etwa einer Vorlesungsstunde zur Vorbereitung im Vorfeld der Vorlesung. Das Material ist als ein Moodle-Buch organisiert. Auf jeder Buchseite finden die Studierenden die Inhalte als formatierten und zur Strukturierung farbig gestalteten Text mit Bildern, interaktiven Graphen (siehe z.B. JSXGraph), ggf. kurzen Videos und digitalen, in den Text eingebetteten Aufgaben (siehe Zusatz-plugin Embedded Questions). Die interaktiven Elemente laden dazu ein, die gerade gelesenen Inhalte aktiv anzuwenden und bieten so eine direkte, das Verständnis fördernde Feedbackschleife. Die Studierenden können die digitalen Aufgaben mehrfach bearbeiten, bei falschen Lösungen erhalten sie ein spezifisches Feedback und Lösungshinweise für einen erneuten Versuch. Nach Bearbeitung des Buchs werden die Studierenden aufgefordert, Fragen und Erkenntnisse zu dem Material anzugeben, die wir Lehrenden zur Vorbereitung der Kontaktzeit mit den Studierenden (s.u.) nutzen können. Dies ist das zentrale Element des „Just in Time Teachings“ (JiTT). Um den Studierenden einen Anreiz zu geben, diesen Auftrag zu erfüllen, können wir diesen als Voraussetzung für den Zugriff auf einen Moodletest konfigurieren. In diesem Test finden die Studierenden ähnliche Aufgaben wie im durchzuarbeitenden Buch. Die in diesem Test erworbenen Punkte können z.B. als Bonuspunkte o.ä. genutzt werden. Als Arbeitspensum für Studierende in der Studieneingangsphase hat es sich für bewährt, die Materialien, Aufträge und Tests so zu konzipieren, dass sie in der Regel in 60 Minuten zu bewältigen sind.

Beispiel 2

In einer Veranstaltung zur Mathematik für Ingenieur*innen greifen wir für jede Vorlesung einen wichtigen Punkt (beispielsweise eine Definition, ein Satz, eine Methode) heraus und stellen diesen in einem Video von 5-10 Minuten vor. Das Ziel besteht hier darin, dass die häufig abstrakten Begriffe oder komplexen Vorgehensweisen für die Studierenden nicht mehr völlig neu sind, wenn sie mit ihnen in der Vorlesung arbeiten. Damit erreichen Sie zwar keinen großen „Zeitgewinn“, aber im Idealfall besitzen die Studierenden dadurch schon eine Vorstellung, auf der Sie aufbauen können. Sie als Lehrperson können beispielsweise mit Hilfe von eingebetteten Aufgaben (s.o.) oder h5p in diese Videos verschiedene Fragen oder Tests integrieren. Wenn die Studierenden diese beantworten, gibt ihnen das unmittelbar Rückmeldung, ob sie die Lernziele weitgehend erreicht haben, und Sie können die Fragen oder Tests auch als Element in einem Anreizsystem verwenden.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Präsenzveranstaltung mit lernförderlichen Aktivitäten abwechslungsreicher zu gestalten., wenn das Hauptziel nicht mehr darin besteht, in einem Lehrvortrag eine möglichst große Menge Stoff zu „schaffen“. Aktivierende Elemente können dazu dienen, Vorwissen zu aktivieren, Aufmerksamkeit zu schaffen, um wesentliche Punkte besonders herauszuheben oder auch dazu, Vor- und Nachteile bestimmter Verfahren zu diskutieren, siehe [Harrington & Zagrajsek, 2017]. Dazu können Sie Verständnisfragen oder Beispiele vorbereiten, die die Studierenden zu zweit bearbeiten, und offene Phasen einplanen, in denen Sie flexibel auf Fragen eingehen. Dieser Wechsel zwischen verschiedenen Aktivitäten trägt dazu bei, die Aufmerksamkeit der Studierenden zu erhöhen, die typischerweise nach 10-20 Minuten Vortrag deutlich nachlässt. Eine mögliche Aktivität zur Auflockerung können das Verständnis fördernde Quizfragen (siehe Peer Instruction) sein, die an die gerade besprochenen Inhalte anknüpfen und den Studierenden eine Rückmeldung geben, wie gut sie diese bereits verstanden haben. Gerade zur Hochschulmathematik gibt es in dem Buch von [Bauer, 2019] eine Quelle für Verständnisfragen zu vielen Themen der Analysis. Quizfragen oder Verständnisaufgaben eignen sich in einer größeren Gruppe sehr gut für das Think-Pair-Share Format. Die Diskussion fachlicher Probleme untereinander bewerten die Studierenden erfahrungsgemäß als Mehrwert der Veranstaltung gegenüber reinen Videoaufzeichnungen.

Durch die vorgelagerte Vorbereitungsphase gewinnen Sie Zeit für Aktivitäten und Flexibilität: Sie können mehr Beispiele für Definitionen und Sätze angeben, etwas, das von Studierenden in Evaluationen häufig gewünscht wird, Sie können interessante Anwendungen und Vertiefungen besprechen oder einfach mehr Zeit für einen Einstieg in tiefergehende Inhalte verwenden.

Ein besonders wichtiger Unterschied zur reinen Frontalvorlesung besteht darin, dass Sie den Studierenden Wahlmöglichkeiten bieten können: Benötigen Sie noch ein weiteres Beispiel? Sollen wir noch eine Anwendung diskutieren oder möchten Sie lieber etwas über den historischen Hintergrund erfahren? Gerade wenn Sie schon eine sehr erfahrene Lehrperson sind, können Sie Ihre breiten Kenntnisse als Expert*in ausspielen, indem Sie nicht einfach vorbereitete Inhalte präsentieren, sondern ad hoc Ihr Wissen nutzen und auf spontane Wünsche und Fragen eingehen. Ihre fachliche Expertise ist ebenfalls gefragt, um sicherzustellen, dass die Diskussion dabei nicht auf Nebenschauplätze abgleitet und die wichtigen Punkte genügend Aufmerksamkeit bekommen. 

In einer Vorlesung mit vorgelagerter Vorbereitung gemäß JiTT erhalten auch Fragen der Studierenden einen ganz neuen Stellenwert. Während es im Ablauf einer Frontalvorlesung für Studierende sehr schwer sein kann, unmittelbar Fragen zu formulieren und unklare Punkte mit einer Rückfrage zielgenau zu adressieren, bietet die vorgelagerte Vorbereitungsphase ihnen die Möglichkeit, in Ruhe Fragen zu formulieren. Wenn die Studierenden sich bereits mit den Themen befasst haben und nicht vorwiegend mit Mitschreiben beschäftigt sind, können spontan einfacher Probleme identifiziert und angesprochen werden. Für Sie als Lehrperson bieten die Fragen, die vor der Präsenzveranstaltung gestellt werden, eine optimale Rückmeldung zum Stand der Kenntnisse Ihrer Studierenden. Sie sehen, welche Inhalte der Vorbereitung erfasst und zu welchen Rückfragen gestellt wurden und auf welchem Niveau Sie in die Inhalte in der Präsenzveranstaltung zur Nachbesprechung einsteigen sollten. Sie können passende Antworten und Beispiele überlegen, und erhalten einen Überblick darüber, wo besonders viele Unklarheiten oder möglicherweise Fehlvorstellungen auftreten. Die Erfahrungen zeigen, dass die Studierenden in der Vorlesung während der Diskussion der im Vorfeld eingereichten Fragen weitere Fragen generieren und, gestärkt durch das positive Feedback auf eingereichte Fragen, sich trauen, diese im Hörsaal vorzutragen. Zudem ist das Eingehen auf die Fragen der Studierenden ein Signal, dass die Vorlesung keine Einbahnstraße ist, in der nur in eine Richtung kommuniziert wird. Studierende, deren Fragen Sie aufgreifen und beantworten, fühlen sich von Ihnen explizit wahrgenommen.

Auch bei unserem hier vorgeschlagenen Modell findet ein großer Teil des Selbststudiums nach der Präsenzveranstaltung statt. Neben den üblichen Übungsaufgaben zum Festigen und Anwenden der Vorlesungsinhalte können Sie in die Nachbereitungsphase direkte Anknüpfungspunkte zur Präsenzveranstaltung einbauen. Damit können Sie als Lehrperson der Beobachtung entgegenwirken, dass Studierende in der Nachbereitungsphase besonders oft auf das Durchlesen der Notizen und das Markieren wichtiger Stellen setzen. Diese Methoden gelten in der Lehr-Lern-Forschung als nicht besonders effizient. Hier können Sie Anregungen für wirkungsvollere Methoden geben: Studierende können eigene Zusammenfassungen von kleinen Abschnitten der Veranstaltung schreiben, Begriffe und Definitionen durch eigene Beispiele illustrieren, sich selbst Test- und Prüfungsfragen überlegen oder am Ende eines Abschnitts eine Mindmap als Überblick skizzieren.

Eventuell gibt es Fragen, die in der Präsenzveranstaltung nicht umfassend beantwortet wurden. Diese können Sie als Take-home-Frage zur freiwilligen Bearbeitung formulieren und ggf. in der Übung oder der nächsten Vorlesung erneut aufgreifen. Genauso können Sie Routinerechnungen oder Details von mathematischen Beweisen in der Präsenzveranstaltung nur andiskutieren und die Studierenden zur Vervollständigung im Selbststudium auffordern.

Darüber hinaus bietet sich die Möglichkeit einer weiteren Feedback-Schleife nach der Präsenzveranstaltung: Falls in der Nachbereitung Fragen auftauchen, können Sie diese Fragen beispielsweise in einem Diskussionsforum beantworten oder in die nächste Präsenzveranstaltung einbringen, falls die Frage von hinreichend allgemeinem Interesse ist.

Um die Nacharbeit für die Studierenden erfolgreich zu gestalten, ist es sinnvoll, die vorgeschlagenen Elemente in die klassischen Übungsaufgaben zu integrieren. Überlegen Sie dabei, welche Arbeitsaufträge sinnvollerweise in die Aufgaben für die Übungen in Gruppen unter Anleitung von Tutor*innen und welche als Hausaufgaben gestellt werden könnten.

Wenn Sie sich dafür entscheiden, unsere Vorschläge zur Auflockerung von Vorlesungen und zur stärkeren Strukturierung der Vorbereitungsphase selbst auszuprobieren, werden Sie sich vermutlich die Frage stellen, wie Sie so damit beginnen können, dass sich der Aufwand für diese Umstellung in einem angemessenen Rahmen bewegt.

Nutzen von bereits vorhandenen Materialien: Dabei wird es einen Unterschied machen, ob Sie eine bereits etablierte Veranstaltung (teilweise) „umstellen“ möchten oder direkt eine neue Veranstaltung konzipieren. Im ersten Fall haben Sie wahrscheinlich bereits Materialien und können diese einerseits in Unterlagen für die Vorbereitungsphase und für die Präsenzphase unterteilen und sich andererseits direkt geeignete Ergänzungen wie Quizfragen, zusätzliche Beispiele oder weitergehende Vertiefungen notieren. Vielleicht haben Sie die Veranstaltung schon einmal gehalten und besitzen noch Notizen, bei welchen Inhalten besondere Schwierigkeiten auftraten, die Sie gezielt mit einem neuen Veranstaltungsformat adressieren könnten? Bei der Neukonzeption einer Veranstaltung ist die Materialerstellung natürlich ein erheblicher Aufwand, den Sie aber ohnehin aufbringen müssen. Sie haben aber den Vorteil, dass Sie von Beginn an die Länge einzelner Abschnitte genau auf den Modus der Veranstaltung anpassen und die ergänzenden Elemente gleich „mitdenken“ können. Kennen Sie jemanden, der eine Veranstaltung dieser Art bereits gehalten hat? Vielleicht können Sie Erfahrungswerte über Schwierigkeiten der Studierenden auf diesem Wege erhalten und nutzen.

Niveau der Quizfragen: Achten Sie darauf, dass die Quizfragen nicht zu schwierig gewählt werden. Formulieren Sie sie so, dass ein Großteil der Teilnehmer*innen, die das Vorbereitungsmaterial durchgearbeitet haben, richtig antwortet, ansonsten stellen Sie indirekt die Sinnhaftigkeit dieser Vorbereitung in Frage. Die Quizfragen sollten eher kurz sein. Längere Rechnungen sollten Sie vermeiden genauso wie die Kombination von zwei Konzepten, wenn das nicht explizit Kern der Problemstellung ist. Für komplexere und aufwändigere Aufgaben eignet sich die Nachbereitung in der Regel besser.  

Teilen von Material: Für die reine Inhaltsvermittlung existieren viele Lehrmaterialien wie Skripte, Bücher und Lernvideos, insbesondere mit offenen Lizenzen oder als OER (Open Educational Ressource). Für Aktivitäten und Quizfragen werden Sie bereits ausgearbeitete Materialien seltener finden. Erst in jüngerer Zeit erscheinen Lehrbücher, die Kontroll- und Diskussionsfragen enthalten. Daher wäre ein Austausch unter Lehrenden gerade für Grundlagenveranstaltungen, die in ähnlicher Form an vielen Hochschulen stattfinden, eine Möglichkeit, um die Entwicklung von Materialien voranzutreiben.

Funktionalitäten von Learning Management Systemen (LMS): Bei der praktischen Implementierung können Sie die Möglichkeiten des LMS (Moodle, Ilias, etc.) Ihrer Hochschule nutzen. Hier können Studierende üblicherweise Quizze bearbeiten, Dateien hochladen, offene Fragen formulieren oder an Diskussionsforen teilnehmen. Für mathematische Aufgaben haben sich dabei Quizfragen mit STACK als sehr geeignet erwiesen. Bei Fragen der Studierenden sollten Sie darauf achten, dass der Rückmeldekanal für Sie als Lehrende effektiv zu bearbeiten ist. Insbesondere ist es hilfreich, wenn sich alle Fragen zu einem Thema in eine einzelne Datei exportieren lassen und nicht einzeln aufgerufen werden müssen. So erhalten Sie schnell einen Überblick, welche Fragen besonders häufig auftreten. Das Aufgabenformat „Freitextaufgabe“ ermöglicht Ihnen einen Export als eine Tabelle mit allen Antworten.

Anreizsysteme: Vor Beginn der Veranstaltung müssen Sie sich auch Gedanken über die Bewertung einzelner Aktivitäten machen. Aus unserer Erfahrung ist ein Bonuspunktesystem zumindest hilfreich, wenn nicht sogar notwendig für das Gelingen. Unabhängig von intrinsischer und extrinsischer Motivation sind Studierende immer Anforderungen aus verschiedenen Lehrveranstaltungen ausgesetzt und entscheiden oft nach rationalen Gründen, wo sie ihre Zeit investieren. Um kontinuierliche Mitarbeit der Studierenden zu erreichen, kommen Sie nicht an der Vorgabe von Zwischenfristen vorbei. Insbesondere wenn Sie zunächst nur einen Teil Ihrer Veranstaltung durch aktive Elemente und Vorbereitungsphasen ergänzen, sollten Sie daran denken, diese Elemente auch bei Bonuspunkten, Studienvorleistungen, etc. zu berücksichtigen. Falls die für Sie zugrundeliegende Prüfungsordnung kein Bonussystem für die Prüfung erlaubt, so können Sie dennoch Kriterien formulieren, die zum Abschluss des Moduls notwendig sind. Auch für die Erfüllung dieser Kriterien werden Ihre Studierenden gerne Angebote annehmen, die es ihnen erleichtern, diese Kriterien zu erfüllen. Ein Anreiz könnte sein, dass die regelmäßige Mitarbeit mit einem virtuellen Guthaben (Gamification-Plugins im LMS) honoriert wird, das bei Bedarf für Fristverlängerungen, erneute Versuche bei digitalen Tests oder erweiterte Hinweise zum Lehrmaterial eingesetzt werden kann.

• Die teilweise Verlagerung der Inhaltsvermittlung in die Vorbereitungsphase erlaubt den Studierenden, diese im eigenen Tempo zu durchlaufen, ggf. auch mehrfach.
• Insgesamt werden die Aktivitäten der Selbstlernphase stärker angeleitet und strukturiert als üblich. Das erleichtert insbesondere in der Studieneingangsphase die Gewöhnung an den relativ hohen zeitlichen Anteil, den die Selbstlernphase einnimmt, und macht für die Studierenden erledigte Arbeitsaufträge sichtbar.
• Für Sie als Lehrenden bietet die zeitliche Flexibilisierung deutlich bessere Chancen differenziert auf die individuellen Lernenden einzugehen.
• Die Verkürzung der Feedbackschleife bietet Ihnen zudem Gelegenheit, Fehlvorstellungen schneller korrigieren zu können.
• Die Nutzung von verschiedenen Medien insbesondere von Videos und interaktiven Aufgaben ist in der Selbstlernphase überall dort möglich, wo es sich aus fachlicher Sicht anbietet.
• Vielfältigere Aufgabenstellungen und Lernaufträge geben die Möglichkeit, von Studierenden frühzeitig gezielt lernförderliche Arbeitsmethoden einzufordern.
• Aktive Phasen in der Vorlesung erlauben den Studierenden mehr eigene Beiträge in der Veranstaltung einzubringen.
• Just in Time Teaching (JiTT) ermöglicht eine abwechslungsreichere Gestaltung der Präsenzveranstaltung.

Bauer, Thomas (2019): Verständnisaufgaben zur Analysis 1 und 2. Springer.

Harrington, Christine; Zakrajsek, Todd J. (2017): Dynamic Lecturing. Research-Based Strategies to Enhance Lecture Effectiveness. Routledge.

Schneider, M., & Preckel, F. (2017). Variables associated with achievement in higher education: A systematic review of meta-analyses. Psychological Bulletin, 143(6), 565–600. https://doi.org/10.1037/bul0000098